نزریة سطحها

نظریة سطحها یک فصل گیامیتریة دیفرانسیلی است، که خاصیت سطحها را می‌آموزد. یکی از وظیفه‌های اساسی نظریة سطحها چِن نمود­ن بزرگیهای گوناگون در سطحها می‌باشد. مجموع دلیلهایی، که در نتیجة این چِنکنینا به دست می‌آید، گیامیتریة داخلی سطحها را تشکیل می‌دهد. مفهومهای درازی خط، کنج بین دو سمت، مساحت ساحه، اینچنین خطهای گیادیزی، کجی گیادیزی خط و غیره مفهوهنای گیامیتریة داخلیند. گیامیتریة داخلی را شکل کودرتی اساسی یکم سطح

107

ds2=edu2+ 2fdudv+gdv2 (1)

e=گ   ، f=r u r v، g=r ، r=r{u، r)

-ردیوس-ویکتار نقطة تغییریابندة سطح، ا، v کااردینته‌های کقختّة این نقطه مویین می‌کند، که کودرت دیفّیرییسیلی کمان خط در سطح می‌باشد.

ساخت فزایی اطراف نقطه در سطح توسط شکل (فارمة) کودرتی اساسی دوّم

2 h=ldu3+2mdudv+ndv2؛           (2)

ک در آن l=ruun، م=گ uvn، n=

ruun،

ویکتار واoیدی نارمل به ستo می‌باشند، تدقیق، کرده می‌شود. اگر بزرگیهای بی‌انتها خرد ترتیبشان نسبت به ترتیب du، dv بلندتر به نظر گرفته نشود، بزرگی h در فرمولة (2) مسافه از نقطة mr (u+duب v+dv) تا همواری رسنده و در نقطة م (ا، ا) می‌باشد؛ این مسافه وابسته به آن که نقطة م در کدام طرف همواری و می‌خوابد، با علامت+یا-قبول کرده می‌شود. اگر شکل (2) علامت مویین داشته باشد، سطح در اطراف کافی خرد نقطة م در یک طرف همواری او می‌خوابد و نقطة م نقطة ه ل ل ا پ س ی  نامیده می‌شود. اگر شکل (2) علامتهای تغییریابنده داشته باشد، سطح در اطراف نقطة م در هر دو ت­رف همواری او جایی می‌گیرد و نقطة م نقطة گیپیربالی نامیده می‌شود. اگر علامت شکل (2) مویین باشد، ولی بعضی اعضاها قیمتهای صفری را قبول کنند (هنگام یکباره به صفر برابر نبودن du و dv) نقطة م نقطة پربالی نامیده می‌­شود (یکی از مثالهای ساخت سطح در اطراف نقطة پربالی نشان داده شده است).

برای صحیحتر تدقیق نمودن شکل فزایی سطح مفهوم کجی نارملیستیفاده می‌شود. در مورد با همواری نارمل بریدن سطح بُرش نارمل حاصل می‌شود. کجی بُرش نارمل کجی نارمل سطح نام دارد. اگر سمت همواری برنده به سمت موافق  آیکجی نارمل (ک) از روی فرمولی

هیساب کرده می‌شود. قیمتهای ایکستریملی کجی نارمل ک1، ک2 ک ا ج ا ه آ ا اساسی، سمتهای موافق در سطح سمتهای اساسی نام دارند. حاصل ضرب کجیهای اساسی ک=ک • ک2-را کجی پ و ر ر ا  یا کجی گوسّ مونامند و آن را از روی فرمولة گوسّ

(3)

هیساب می‌کنند. کجی پرّه درجة کجشوی سطحها را در اطراف نقطة داده شده نشان می‌دهد. مثلاً، اگر ک > 0 باشد-نقطة ایلّیسّی ک < 0 باشد-نقطة گیپیربالی و ک=0 باشد-نقطة پ­ربال حاصل می‌شود. گر بین نقطه‌های دو سطح چنین موافقیت یکّیمّته موجود باشد، که درازی خطهای موافق در این سطحها برابر باشند، این سطحها را سطحهای ازامیتری می‌نامند. گیامیتریة داخلی سطحهای ازامیتری یک خیل باشد هم، و­لی ساخت فزایی آنها از هم فرق می‌کنند. یکی از مفهومهای مهم نظریة سطحها کجی میانه به حساب می‌رود، که به نصف حاصل جمع کجیهای اسا­سی  برابر می‌باشد. اگر کجی میانة سطح در هر نقطه‌اش به صفر برابر باشد، سطح را م-نیملی می‌نامند، که آن در فیزی­که و دیگر ساحه‌های علم اهمیت کلان دارد. دیگر مسئلة موهم نظریة سطحها پراب­لیمة قتشوی سطحها می‌باشد. در این بابت تدقیقات عالم ساویتی ن. و. افیماو جالب دقّت است.

د .: پ آ گ آ ر ا ل آ و ا. و. ، دیفّیرین­تسیلنیه گیامیتریه، و ازد. . م. ، 1974.