نزریة مجموعه‌ها

نظریة مجموعه‌ها تعلیماتیست در بارة خاصیتهای عمومی مجموعه‌ها، علی‌الخصوص مجموعه‌های بی‌انتها. مفهوم مجموع از جملة سادهترین مفهومهای  متیمتیکیست، آن تعریف داده نمی‌شود، امّا با مثالها شرح دادن ممکن است. چنانچه، در بارة مجموع کتابهای یگان. کتابخانه، مجموع نقطه‌های خط راست، مجموع هلهای یگان معادله سخن رانده می‌توانیم. کتابهای کتابخانة مذکور، نقطه‌های خط راست، هلهای معادلة انتخاب‌شده موافقن ایلی­مینتهای مجموع می‌باشند. با مقصد مویین کردن مجموع خاصیت کارکتریستیکی المنتها، یعنی آن خاصیتی را نشان دادن کافیست، که همة المنتهای این مجموع صاحبند. چنین هم می‌شود، که هیچ یک المنت این خاصیت را دارا نیست، آن گاه این گونه مجموع را مجموع خالی می‌نامند. المنت مجموع م بودن خ این طور نوشته می‌شود: خϵ م (خواندنش خ متعلّق مجموع م).

گر هر یک المنت مجموع ا در این حال المنت مجموع وباشد، آن وقت ا-را زیرمجموع و یا قسم مجموع و می‌نامند و چنین می‌نویسند: ا⊇ویا و⊆ه. مجموع خالی را نظر به تعریف، زیرمجموی همه گونه مجموع می‌حسابند.

وّلین مسئله‌ای، که در ساحة مجموعه‌های بی‌انتها به میان آمد، این مسئلة بین یکدیگر مقایسه کردن مقدار المنتهای مج­موعها بود. این مسئله و مسئله‌های به آن نزدیک را سالهای 70 عصر 19 گ. کنتار حل نمود و نظریة معرفت را چون علم متیمتیک اساسناک کرد. م و-قایسة مقدار المنتهای مجموعه‌ها به مفهوم بین یکدیگر یکقیمته موافق گذاشتن ایلی­مینتهای دو مجموع استناد می‌کند. بگذار به هر یک المنت مج­موی ا، از روی یگان قانون و قاعده، المنت معلوم مجموع و موافق گذاشته شده باشد. اگر در این مورد به هر یک المنت مچجموی ا یک و فقط یک المنت مجموع و موافق گذاشته شود، آن گاخه می‌گویند، که بین مجموعه‌های ا و و موافقت بینن یکقیمته مقرّر کرده شده است[اشاره‌ مختصرش (1-1) ]. ظاهراً، بین دو مجموع آخرناک تنها همان وقت موافقتی (1-1) را مقرّر نمودن ممکن است، که اگر هر دو مجموع از همان یک مقدار المنتها تشکیل یافته باشند. برای تعمیم این عامل اق تیدار مجموع را مویین می‌کنند. ماهیّت مفهوم اقتدار مجموع با موجودیّت مجموعه‌های بی‌انتهای اقتدارشان گوناگون مویین می‌گردد. مثلاً، اقتدار همه ا زیر-مجموعه‌های مجموع م از اقتدار خود مجموع م کلان است. مجموعی، که اقتدارش به اقتدار مجموع همة عددهای نتورلی برابر است، مجموع ه ا س آ ب ی نام دارد. اقتدار مجموع حسابی خردترین اقتداریست، که آن را مجموع بی‌انتها دارد. گ. کنتار اثبات نمود، که مجموع همة عددهای راسیونالی و حتّی مجموع همة عددهای الگیبروی حسابیند، ولی مجموع همة عددهای حقیقی غیریهیسابی. اقتدار مجموع همة عددهای حقیقی را اقتدار کانتینوم می‌نامند (نیگ. کانتینوم). مجموع ه­مة زیرمجموعهای مجموع حسابی، مجموع همة عددهای کامپلیکسی، مجموع همة نقطه‌ها در همواری، اینچنین مجموع همة نقطه‌های فزایی سیچینه نه یا عموماً فضای n-چِنه (پ-عدد اختیاری) به مجموع همة عددهای حقیق برابریقتیدار می‌باشند. کنتار فر-زییی را (به نام کانتینوومفرزیه) پیش گذاشت، که بنا به آن هر گونه مجموع عبارت از عددهای حقیقی یا باینتیها، یا حسابی و یا با مجموع همة عددهای حقیق برابریقتیدار خواهد بود (نیگ. پروبلم کانتینوم).

در نظریة معرفت مفهومهای تعمیم فونکسیه، مفهوم گیامیتری انعکاس یا تبدلات شکل و مانند اینها تحت یک مفهوم عمومی انعکاس یک مجموع به دیگرش مجتمع می‌یابد. بگذار مجموعه‌های x و y داده شده باشد. فرز کنیم، که به هر کدام المنتن مویین خ ϵ x یگان المنت مویین و=f (x) از y موافقت کرده با­شد؛ در چنین حال می‌گویند، انعی­کاس مجموع x در مجموع y وجود دارد. به عبارة دیگر، بین مج­موی x و y فونکسییی وجود دارد که ارگومینت آن خ از x قیمت می‌-گیرد و قیمت فونکسیه از مجوی y. المنتن و=f (خ) ، که برای شر خ-ا معلوم از x در y موجود است، آ ب ر ا ز ا المنت خ ϵ x در y (هنگام این انعکاس) و یا قیمت فونکسیة مذکور نام دارد. مثلاً، خ مجموع همة عددهای حقیقی با­شد؛ اگر به هر یک خ ϵ x فونکسیه و=f (x) =arc tg خ باشد، پس مو­قرّر خواهد شد، که مجموع x در

ینتیرول (-  ، ) انعکاس گردیده است.

ملها با مجموعه‌ها نیز به مانند عملها با عددها (غیر از عمل تقسیم) وجود دارند، چنانچه سومّه‌ای دو، سه و غیره مجموعه‌های دلخواه آخرناک و بی‌آخر گفته مجموعی را می‌نامند، که المنتهای آن لااقل یکتا المنت مجموعه‌های جمع‌شونده را در خود داشته باشد. ب و ر ا ش ا مجموعه‌ها گفته مجموعی را گویند، که المنتهای آن برای همة مجموعه‌های انتخاب‌شده عموم می‌باشد. بُرش دو مجموع غیریهالی مجموع حال شده می‌توالد. ف ا ر ق ا مجموع ا و مجموع و مجمویست، که المنتهایش از ایلیمیلتهای مجموع و عبارت بوده، متعلّق مجموع ا نیستند. عملهای جمع و بُرش مجموعه‌ها قانونهای اسّاسیتیوی و کامّوتتیوی را قانع می‌گردانند. اگر ξ و η موافقن اقتدار مجموعه‌های x و و باشد، آن گاه ξη  وه ηξ  موافقن چون اقتدار ضرب بیرونة این مجموعه‌ها x∙ ا (مجموعه‌های جفت امکان‌پذیر (خ، و) ، خ ϵ x، و ϵ y] و yx درجة آنها (مجموع همین انعکاسهای امکال‌پذیر مجموع x به مجموع y) باید معاینه کرد. به مانند همین سومّة اقتدارها را چون اقتدار سومّة مجموعه‌های جفت-جفت همدیگر را نبورنده مویین کردن ممکن است.

در مجموع x مویین نمودنل مفهوم ترتیب المنتها از مو­یین کردن پیدرپه‌ای جفت المنتهای خ’ و خ” عبارت است. بگذار خ’ < خ " است. اگر خ < خ ' و خ'< خ " باشد، آن گاه خ < خ" (یعنی قانون ترنزیتیوی) خواهد شد. مج­مویی، که از روی یگان ترتیب مویین معاینه می‌گردد، مجموع مرتّب-شده نامیده می‌شود. ولی مجموع مرتّب شده مجموع قسماً م و-رتّبشده‌ای است، که باید شرطهای زیرین را قانع گردانند. 1) هیچ یک المنت پیش از خود آمده نمی‌تواند؛ 2) از دو المنت گوناگون خ، خ'، یکی از دیگری پیش آمده می‌تواند، یعنی یا خ < خ'، یا خ' < خ. مثلاً، هر گونه مجموع عددهای حقیقی خطّی مرتّب شده می‌باشد؛ همان عددی را پیشایند عددی ثانی می‌نامند، که آن نسبت به عدد ثانی خردتر باشد. تعسیر نظریة معرفت در انکشاف متیمتیکة معاصر بسا کلان است. پیش از همه نظریة معرفت اساس یک قطار فنهای نو متیمتیک به مانن­د نظریة فونکسیه‌های تغییریابنده‌هایش حقیقی تاپالوژی ا عمومی، الگیبرة عمومی، تحلیل فونکسیانلی و غیره گردید. متدهای نظریه‌وی و مجموع در ساحه‌های کلاسیکی متیمتیکه نیز تدریجاً تطبیق یافته ایستاده است. مثلاً، یک متد را در ساحة تحلیل متیمتیک، در نظریة صفتی معادله‌های دیفرانسیلی، حساب وریتسیانی، نظریة احتمالیت و غیره استفاده می‌برند. نهایت نظریة معرفت برای فهمش خود پریدمیت متیمتیکه یا خود چنین فصل کلان آن-گی­امیتریه تأثیر کلان رساند.