Наздиккунӣ ва интерполиронии функсияҳо

Наздиккунӣ ва интерполиронии функсияҳо фасли Назарияи функсиҳост, ки усулҳои тақрибӣ ифода кардани функсияҳоро меомӯзад. Гузориши масъалаи асосии Наздиккунӣ чунин аст: барои функсияи f(x) аэ синфи муайяни функсияҳо К (масалан, аз синфи бисёрузваҳо ё функсияҳои тригонометрӣ) чунин функсияи ϕ(х)–ро бояд ёфт, ки вай бо ягон маъно ба f(х) наздик бошад, яъне f(х) -ро тақрибӣ тасвир кунад. Интерполиронии функсия (ниг. Интер­полятсия) ҳолати хусусии наздиккунӣ мебошад. Ҳангоми интерполятсияи функсияи f(х) ба ϕ(х) чунин шарт гузошта мешавад, ки дар ги- реҳҳо {x_i}_i   қиматҳои он ба қиматҳои f(x) (дар баъзе ҳолатҳо қиматҳои якчанд ҳосилаҳои он низ) баробар бошанд.

Барои муайян кардани он, ки ϕ(х)–то чm андоза ба f(х) –наздик аст, аз чени фазоҳои гуногун истифода мебаранд. Ба сифати К бештар маҷ­мӯе, ки дар он {ϕ_i (х)}_i =   базис, ба сифати чен — чени фазоҳои С (а, b) ё L₂ (а, b) (L₂ — фазоb гилбертӣ) ва ба сифати {ϕ_i (х)}_i   системаи дараҷагӣ (xⁱ) ё системаи тригономет­рӣ {sin ix, cos ix) қабул карда ме­шавад. Бузургии Е_п (f) — min

                                                                                       a_1,…, a_n

               
 _i ϕ_i (x)= max
―  ϕ (x)  =  f(х)―

_I (x)  C (a,b)=

=  f(х)― ϕ (x)  C (a, b)

 беҳтарин наздикшавии мунтазам ва ϕ(х)  бисёрузваи умумикардашудаи ин наздикшавӣ ном доранд. Масъа­лаи тартиб додани чунин ϕ(х)– ро П. Л. Чебишев пурра тадқиқ кардааст. Ӯ барои f(х) дар порчаи [а, b] шарти зарурӣ ва кофии мавҷудият ва ягонагии бисёрузваи умумикар­дашудаи беҳтарин наздикшавии мунтазам ϕ(х)-ро муайян кардааст. Маҳз ҳамин масъала сарчашмаи назарияи

Наздиккунӣ ба ҳисоб меравад. Теоремаи машҳури Вейерштрасс (доир ба наздикшавии мунтазами функсияи муттасил бо ёрии бисёрузваи дараҷааш ба қадри кофӣ калон) низ яке аз натиҷаҳои аввалини ин соҳа мебошад.

Соҳаҳои тадқиқи назарияи Наздиккунӣ инҳоанд: 1) вобаста ба хосиятҳои f(х) ёфтани суръати ба сифр майл намудани Е_п (f); 2) вобаста ба хосиятҳои E_n(f) тадқиқ намудани хосиятҳои f(х); 3) барои n-и додашуда ҷустуҷӯ намудани чунин {ϕ_i (х)}_i  = ; ки фарқи f(х) аз  _i ϕ_i (x) ба қадри имкон хурд бошад; 4) наздиккунии функсияҳои бисёртағйирёбанда ва функсияҳои як ё бисёртағаирёбандаи комплексӣ.

Дар 20 соли охир соҳаи нави назарияи Н.—наздиккунӣ бо сплайн- функсияҳо (сплайн ба англ. хаткашаки чандирест, ки ҳангоми деформатсия хурдан шакли хати каҷи суфтаро мегирад) инкишоф ёфтааст. Ҳоло сплайн-функсияҳои кубӣ васеъ истифода шуда истодаанд. Онҳо бо усули зерин тартиб дода мешаванд: порчаи [а, b]-ро ба п ҳисса ҷудо намуда, дар ҳар ҳисса силайн-функсияро чун бисёрузваи кубӣ интихоб мекунанд. Талаби интерполиронии функсия ва ба фазои С(2)( а, b) та а л л у қ, доштани он имконият медиҳад, ки сплайн тартиб до­да шавад. Азбаски ғайр аз L₂(а, b) дар дигар фазоҳо саҳеҳ тартиб додани бисёрузваи умумикардашудаи наздикшавиаш хуб мушкил аст, усулҳои тақрибӣ ёфтани он низ тадқиқ шудаанд. Ин дар навбати худ бои­си ба вуҷуд омадани алгоритмҳои гуногун гардид.

Ғоя ва усулхои назарияи Наздиккунӣ сар­чашмаи бисёр тадқиқоти математи­каи ҳисобкунӣ мебошанд.

Ад.: Ахиезер Н. И., Лектсии по теории аппроксиматсии, М., 1965; А л б е р г ;. ва диг., Теория сплайнов и её прило­жение, М., 1972; Д з я д ы к В. К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, М., 1977;