Наздиккуни ва интерполиронии функсияхо

Наздиккуни ва интерполиронии функсияхо фасли Назарияи функсихост, ки усулхои такриби ифода кардани функсияхоро меомузад. Гузориши масъалаи асосии Наздиккуни чунин аст: барои функсияи f(x) аэ синфи муайяни функсияхо К (масалан, аз синфи бисёрузвахо ё функсияхои тригонометри) чунин функсияи ϕ(х)–ро бояд ёфт, ки вай бо ягон маъно ба f(х) наздик бошад, яъне f(х) -ро такриби тасвир кунад. Интерполиронии функсия (ниг. Интер­полятсия) холати хусусии наздиккуни мебошад. Хангоми интерполятсияи функсияи f(х) ба ϕ(х) чунин шарт гузошта мешавад, ки дар ги- реххо {x_i}_i   киматхои он ба киматхои f(x) (дар баъзе холатхо киматхои якчанд хосилахои он низ) баробар бошанд.

Барои муайян кардани он, ки ϕ(х)–то чm андоза ба f(х) –наздик аст, аз чени фазохои гуногун истифода мебаранд. Ба сифати К бештар мач­муе, ки дар он {ϕ_i (х)}_i =   базис, ба сифати чен — чени фазохои С (а, b) ё L₂ (а, b) (L₂ — фазоb гилберти) ва ба сифати {ϕ_i (х)}_i   системаи дарачаги (xⁱ) ё системаи тригономет­ри {sin ix, cos ix) кабул карда ме­шавад. Бузургии Е_п (f) — min

                                                                                       a_1,…, a_n

               
 _i ϕ_i (x)= max
―  ϕ (x)  =  f(х)―

_I (x)  C (a,b)=

=  f(х)― ϕ (x)  C (a, b)

 бехтарин наздикшавии мунтазам ва ϕ(х)  бисёрузваи умумикардашудаи ин наздикшави ном доранд. Масъа­лаи тартиб додани чунин ϕ(х)– ро П. Л. Чебишев пурра тадкик кардааст. У барои f(х) дар порчаи [а, b] шарти зарури ва кофии мавчудият ва ягонагии бисёрузваи умумикар­дашудаи бехтарин наздикшавии мунтазам ϕ(х)-ро муайян кардааст. Махз хамин масъала сарчашмаи назарияи

Наздиккуни ба хисоб меравад. Теоремаи машхури Вейерштрасс (доир ба наздикшавии мунтазами функсияи муттасил бо ёрии бисёрузваи дарачааш ба кадри кофи калон) низ яке аз натичахои аввалини ин соха мебошад.

Сохахои тадкики назарияи Наздиккуни инхоанд: 1) вобаста ба хосиятхои f(х) ёфтани суръати ба сифр майл намудани Е_п (f); 2) вобаста ба хосиятхои E_n(f) тадкик намудани хосиятхои f(х); 3) барои n-и додашуда чустучу намудани чунин {ϕ_i (х)}_i  = ; ки фарки f(х) аз  _i ϕ_i (x) ба кадри имкон хурд бошад; 4) наздиккунии функсияхои бисёртагйирёбанда ва функсияхои як ё бисёртагаирёбандаи комплекси.

Дар 20 соли охир сохаи нави назарияи Н.—наздиккуни бо сплайн- функсияхо (сплайн ба англ. хаткашаки чандирест, ки хангоми деформатсия хурдан шакли хати качи суфтаро мегирад) инкишоф ёфтааст. Холо сплайн-функсияхои куби васеъ истифода шуда истодаанд. Онхо бо усули зерин тартиб дода мешаванд: порчаи [а, b]-ро ба п хисса чудо намуда, дар хар хисса силайн-функсияро чун бисёрузваи куби интихоб мекунанд. Талаби интерполиронии функсия ва ба фазои С(2)( а, b) та а л л у к, доштани он имконият медихад, ки сплайн тартиб до­да шавад. Азбаски гайр аз L₂(а, b) дар дигар фазохо сахех тартиб додани бисёрузваи умумикардашудаи наздикшавиаш хуб мушкил аст, усулхои такриби ёфтани он низ тадкик шудаанд. Ин дар навбати худ бои­си ба вучуд омадани алгоритмхои гуногун гардид.

Гоя ва усулхои назарияи Наздиккуни сар­чашмаи бисёр тадкикоти математи­каи хисобкуни мебошанд.

Ад.: Ахиезер Н. И., Лектсии по теории аппроксиматсии, М., 1965; А л б е р г ;. ва диг., Теория сплайнов и её прило­жение, М., 1972; Д з я д ы к В. К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, М., 1977;