Назарияи функсияҳо

Назарияи функсияҳо, як фасли математика буда, хосиятҳои умумии функсияҳоро меомӯзад. Назарияи функсияҳо аз ду шохаи мустақил иборат аст: назарияи функсияҳои тағйирёбан­дааш ҳақиқӣ ва назарияи функсияҳои тағйирёбандааш комплексӣ.

Дар таҳлили математикии «клас­сики» объектҳои асосии тадқиқот функсияҳои дар фосилаҳои додашуда (боинтиҳо ё беинтиҳо) бефосила ва функсияҳои то як дараҷа суфта мебошанд. Вале аз нимаи дуюми асри 19 cap карда инкишофи математика зарурати омӯзиши мураттаби функ­сияҳои умумитарро ба миён овард. Сабаби асосии ин талабот он аст, ки ҳудуди пайдариайии функсияҳои бефосила функсияи канишдор буданаш мумкин аст. Ба ибораи дигар, синфи функсияҳои бефосила нисбат ба амали асосии таҳлили математикӣ — ёфтани ҳудуд ба худудгузарӣ маҳдуд набудааст. Аз ин ҷост, ки функсияҳое, ки бо ёрии каторҳои триговометрӣ барин усули классики муайян карда мешававд, аксар вақт функсияҳои канишдор ва ё функ­сияҳои дифференсирониданашаванда мебошанд. Ба монавди ҳамин Го­сплан функсияҳои бефосила функсияи канишдор шуданаш мумкин аст. Ниҳоят муодилаҳои дифференсиалие, ки ҳангоми ҳал кардани масъалаҳои физики ба вуҷуд меоянд, баъзан дар синфи функсияҳои ба қадри кофӣ суфта ҳал надоранду дар синфи васеътари функсияҳо ҳалшавандаанд. (Агар дар зимни ин худи мафҳуми ҳал таъмим дода шавад). Маҳз ҳамин ҳалҳои таъмимёфта ҳалли масъалаи физикӣ мебо­шанд. Ин ва дигар вазъиятҳои ба ин монанд сабаби асосии ба вуҷуд омадани назарияи функсияҳои тағйи­рёбандааш ҳақиқӣ гардидаид.

Баъзе фактҳои ҷузъии назарияи функсияҳои тағйирёбандааш ҳақиқӣ

(мавҷудияти қаторҳои функсияҳои бефосилаи суммаашон функсияҳои канишдор, мисолҳои функсияҳои бефосилаи ,дар ҳеч ягон интервал диф- феронсирониданашаванда ва ғайра) асри 19 кашф шудаанд. Дар аввали асри 20 бошад ҳангоми ба сифати асосии тадқоқоти функсияҳо қабул шудани назарияи маҷмӯъҳо, назарияи функ­сияҳои тағйирёбандааш хақиқӣ мураттабона инкишоф ёфт.

Назарияи функсияҳои тағйирёбан­дааш ҳақиқатро ба се равия ҷудо кардан мумкин аст: 1) Назарияи функсияҳои метрӣ дар он хосияти функсияҳо бо ёрии чени (ниг. Маҷмуъ) маҷмӯъҳое омӯхта мешавад, ки дар онҳо ин хосиятҳо ҷой доранд. Дар Назарияи функсияҳои метрӣ интегронӣ ва дифферевсиронии функсияҳо (ниг. Интеграл, Диф­ференсиал, Ҳосила) дар шакли том омӯхта мешававд, мафҳуми наздикшавии пайдарпаиҳои функсионалиро бо тарзҳои гуногун таъмим мекунанд, сохти умумитарин функсияҳои канишдор тадқиқ карда мешавад ва ғайра Синфи асосии Назарияи функсияҳои метрӣ функ­сияҳои ченшаванда ба ҳисоб мераванд. 2) Назарияи функсияҳои тавсифӣ (дескриптивӣ), ки дар он объекти асосии тадқиқот амали ба худудгузарӣ мебошад. 3) Назарияи функсияҳои конструктивӣ, ки масъалаҳои бо ёрии функсияҳои таҳлили ифода намудани функсияҳои ихтиёриро тадқиқ мекунад (ниг. Наздиккунӣ ва интерполиронии функсияҳо).

Дар бораи назарияи функсияҳои тағйирёбандааш комвлексӣ ниг Функтсияҳои таҳлилӣ.

Ад.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функтсий и функ­тсионалного анализа, 4 изд., М., 1974.