Наздикшавии мафхуми математики

Наздикшави, мафхуми математикиест, ки худуд доштани бузургии тагйирёбандаро ифода мекунад. Ба хамин маъно дар бораи Наздикшавии пайдарпаи, Наздикшавии касри бефосила, Наздикшавии зарби беохир, Наздикшавии интеграл ва гайра сухан рондан мумкин аст.

Наздикшавии пайдарпаии {а_n} (п = 1, 2, …) худуди охирнок доштани пайдарпай, яъне lim а_п = а; Наздикшавии катори _к

худуди охирнок доштани пайдарпаии суммахои хусусии катор (ниг.

Катор) яъне lim S_n=s (S_n = _к  , n =  1,  2, …); Наздикшавии зарби беохир b₁ ∙ b₂∙… b_n  худуди охирноки гайрисифри доштани пайдарпаии зарбхои охирнок Р_п = b₁ ∙ b₂ ∙… ∙ _п, п = 1, 2, …; Наздикшавии интеграли {x)dx аз функcияи f(х), ки дар oар гуна порчаи охирноки [а, b] интегронидашаванда мебошад, худуди охирнок доштани интегралхоро хангоми b→+ , яъне интеграли гайрихоси +

{x)dx – ро ифода мекунад.

Хосияти Наздикшавии ин ё он объектхои математики хам дар масъалахои назарияви ва хам дар масъалахои амалии математика роли мухим мебозад. Масалан, аксар бузурги ё функсияхоро бо воситаи каторхои наздикша­ванда ифода мекунанд, асоси логарифми натурали е-ро ба катори наздикшаванда ин тавр пахн мекунанд:

e= 1+  +  +  + ….+ + …,

функсияи sin х бошад, барои хаман х бо катори наздикшавандаи

sin x= x-  +  –  + … +) ∙  + …

 

ифода мешавад. Хамин тавр, каторхоро барои такриби хисоб кардани бузурги ва функсияхои гуногун истифода бурдан мумкин будааст. Ба­рои ин суммаи якчанд узвхои авва­ли каторро гирифтан кифоя аст. Микдори узвхо хар кадар бисёр бошанд, бузургии матлуб низ хамон кадар сахехтар мешавад. Барои ха- мон як бузурги ва ё функсия каторхои гуногуне мавчуданд, ки суммаи онхо ба ин бузурги ва ё функсия бapoбap аст, масалан,

ln  =  –  ∙   +  ∙  –  ∙  + . . . +    + . . . ,

 

ln  =  (1+  ∙  +  ∙  + . . . +  ∙  + . . . ).

 

Хангоми хисобу китоби амали бо максади сарфа намудани микдори амалхо (дар баробари ин сарфа на­мудани вакт ва кам кардани хатохо) катореро интихоб намудан лозим аст, ки он “нисбатан тезтар наздикшаванда” бошад.

 

Бигзор ду катори наздикшавандаи

 

дода шуда бошанд, бо   ва   мувофикан бакияхои катори якум ва дуюмро ишора мекунем. Агар

 

 

бошад, катори якум нисбат ба катори дуюм тезтар наздикшаванда номида мешавад.

Масалан, катори

1+

нисбат ба катори

 

тезтар наpдикшаванда мебошад.

Мафхуми Наздикшави дар халли бисёр муодилахо (алгебрави, дифференсиали, интеграли), аз чумла хангоми чустучуи халхои ададии такрибии муодилахо ахамияти калон дорад. Масалан, бо ёрии усули пай дар пай наздиккуни пайдарпаии функсияхоеро. ки ба халли мувофики муодилаи дифференсиали наздикшавандаанд, хосил кардан мумкин аст.

Дар тахлили математики намудхои гуногуни Наздикшави пайдарпаихои функ­сияхои { (x)} ба функcияи f{x) дар ягон мачмуи М муоина карда ме­шавад. Агар барои хар як нуктаи аз М  (х₀) = f (х₀) бошад, дар бораи Наздикшави дар хар як нукта сухан меронанд (агар ин баробари танхо барои нуктахои макмуи чени синфиро ташкилкунанда чоиз набошад, дар бораи Наздикшави кариб дар хама ко сухан меронанд). Наздикшави якчанд ху- сусиятхои нокулай хам дорад (масалан, пайдарпаии функсияхои бефосила дар хар як нукта ба функсияи канишдор наздик шуданаш мумкин аст, аз Наздикшавви функсияхои (х) ба f(x) дар хар як нукта дар холати умуми Наздикшавии интегралхо аз  (х) ба интеграл аз f(x)  барнамеояд ва гайра). Вобаста ба ин мафхуми Наздикшавии мунтазам чори карда шудааст. Ба монан- ди хамин, дар назарияи муодилахои интеграли мафхуми Наздикшавии миёнаи квадрати чори гардидааст. Мафхуми Наздикшавиро дар назарияи эхтимолият, тахлили функсионали низ истифода мебаранд.

Ад.: И л  и и В. А., П о 8 я я к Э. Г., Основы математического анализа. 3 изд., т. 1—2, М., 1107.1—73; Кудрявтсев Л. Д.. Математический анализ, 2 изд., т. 1—2, М., 1970; Николский С. М., Курс математического анализа, т. 1—2, М., 1973.