Назарияи мачмуъхо

Назарияи мачмуъхо таълимотест дар бораи хосиятхои умумии мачмуъхо, алалхусус мачмуъхои беинтихо. Мафхуми мачмуъ аз чумлаи соддатарин мафхумхои  математикист, он таъриф дода намешавад, аммо бо мисолхо шарх додан мумкин аст. Чунончи, дар бораи мачмуи китобхои ягон. китобхона, мачмуи нуктахои хати рост, мачмуи халхои ягон муодила сухан ронда метавонем. Китобхои китобхонаи мазкур, нуктахои хати рост, халхои муодилаи интихобшуда мувофикан эле­ментхои мачмуъ мебошанд. Бо максади муайян кардани мачмуъ хосияти характеристикии элементхо, яъне он хосиятеро нишон додан кофист, ки хамаи элементхои ин мачмуъ сохибанд. Чунин хам мешавад, ки хеч як элемент ин хосиятро доро нест, он гох ин гуна мачмуъро мачмуи холи меноманд. Элемент мачмуи М будани х ин тавр навишта мешавад: хϵ М (хонданаш х мутааллики мачмуи М).

Агар хар як элементи мачмуи А дар айни хол элементи мачмуи Вбошад, он вакт А-ро зермачмуъ ва ё кисми мачмуи В меноманд ва чунин менависанд: А⊇Вё В⊆А. Мачмуи холиро назар ба таъриф, зермачмуи хама гуна мачмуъ мехисобанд.

Аввалин масъалае, ки дар сохаи мачмуъхои беинтихо ба миён омад, ин масъалаи байни якдигар мукоиса кардани микдори элементхои мач­муъхо буд. Ин масъала ва масъалахои ба он наздикро солхои 70 асри 19 Г. Кантор хал намуд ва Назарияи маърифатро чун илми математики асоснок кард. Му- коисаи микдори элементхои мачмуъхо ба мафхуми байни якдигар яккимата мувофик гузоштани эле­ментхои ду мачмуъ истинод мекунад. Бигзор ба хар як элементи мач­муи А, аз руи ягон конуну коида, элементи маълуми мачмуи В мувофик гузошта шуда бошад. Агар дар ин маврид ба хар як элементи маччмуи А як ва факат як элементи мачмуи В мувофик гузошта шавад, он гохх мегуянд, ки байни мачмуъхои А ва В мувофикати байнан яккимата мукаррар карда шудааст [ишораи мухтасараш (1—1)]. Зохиран, байни ду мачмуи охирнок танхо хамон вакт мувофикатии (1— 1)-ро мукаррар намудан мумкин аст, ки агар хар ду мачмуъ аз хамон як микдори элементхо ташкил ёфта бошанд. Барои таъмими ин омил ик тидори мачмуъро муайян мекунанд. Мохияти мафхуми иктидори мачмуъ бо мавчудияти мачмуъхои беинтихои иктидорашон гуногун муайян мегардад. Масалан, иктидори хама и зер- мачмуъхои мачмуи М аз иктидори худи мачмуи М калон аст. Мачмуе, ки иктидораш ба иктидори мачмуи хамаи ададхои натурали баробар аст, мачмуи х и с о б и ном дорад. Иктидори мачмуи хисоби хурдтарин иктидорест, ки онро мачмуи беинтихо дорад. Г. Кантор исбот намуд, ки мачмуи хамаи ададхои ратсионали ва хатто мачмуи хамаи ададхои алгебрави хисобианд, вале мачмуи хамаи ададхои хакики гайрихисоби. Иктидори мачмуи хамаи ададхои хакикиро иктидори континуум меноманд (ниг. Континуум). Мачмуи ха­маи зермачмуъхои мачмуи хисоби, мачмуи хамаи ададхои комплекси, мачмуи хамаи нуктахо дар хамвори, инчунин мачмуи хамаи нуктахои фазои сечена на ё умуман фазои n-чена (п — адади ихтиёри) ба мачмуи хамаи ададхои хакики баробариктидор мебошанд. Кантор фар- зияеро (ба ном континуумфарзия) пеш гузошт, ки бино ба он хар гуна мачмуи иборат аз ададхои хакики ё боинтихо, ё хисоби ва ё бо мачмуи хамаи ададхои хакики баробариктидор хохад буд (ниг. Проблемаи континуум).

Дар Назарияи маърифат мафхумхои таъмими функсия, мафхуми геометрии инъикос ё табдилоти шакл ва монанди инхо тахти як мафхуми умумии инъикоси як мачмуъ ба дигараш мучтамеъ меёбад. Бигзор мачмухои X ва Y додашуда бошад. Фараз кунем, ки ба хар кадом элементн муайяни х ϵ X ягон элементи муайяни у = f (x) аз Y мувофикат карда бо­шад; дар чунин хол мегуянд, инъи­коси мачмуи X дар мачмуи Y вучуд дорад. Ба ибораи дигар, байни мач­муи X ва Y функсияе вучуд дорад ки аргументи он х аз X кимат ме- гираду кимати функсия аз мачуи Y. Элементн у = f (х), ки барои щар х-и маълум аз X дар Y мавчуд аст, о б р а з и элементи х ϵ X дар Y (хангоми ин инъикос) ва ё кимати функсияи мазкур ном дорад. Масалан, х мачмуи хамаи ададхои хакики бо­шад; агар ба хар як х ϵ X функсия у = f(x) = arc tg х бошад, пас му­каррар хохад шуд, ки мачмуи X дар

интервали (-  , ) инъикос гардидааст.

Амалхо бо мачмуъхо низ ба монанди амалхо бо ададхо (гайр аз амали таксим) вучуд доранд, чунончи суммай ду, се ва гайра мачмуъхои дилхохи охирнок ва беохир гуфта мачмуеро меноманд, ки элементхои он лоакал якто элементи мачмуъхои чамъшавандаро дар худ дошта бошад. Б у р и ш и мачмуъхо гуфта мачмуеро гуянд, ки элементхои он барои хамаи мачмуъхои интихобшуда умуми мебошад. Буриши ду мачмуи гайрихоли мачмуи холи шуда метаволад. Ф а р к и мачмуи А ва мачмуи В мачмуест, ки элементхояш аз элемелтхои мачмуи В иборат буда, мутааллики мачмуи А нестанд. Амалхои чамъ ва буриши мачмуъхо конунхои ассосиативи ва коммутативиро конеъ мегардонанд. Агар ξ ва η мувофикан иктидори мачмуъхои X ва У бошад, он гох ξη  ва ηξ  мувофикан чун иктидори зарби берунаи ин мачмуъхо X∙ У (мачмуъхои чуфти имконпазир (х, у), х ϵ X, у ϵ Y] ва YX дарачаи онхо (мачмуи хамин инъикосхои имколпазири мачмуи X ба мачмуи Y) бояд муоина кард. Ба монанди хамин суммаи иктидорхоро чун иктидори суммаи мачмуъхои чуфт- чуфт хамдигарро набуранда муайян кардан мумкин аст.

Дар мачмуи X муайян намуданл мафхуми тартиби элементхо аз му­айян кардани пайдарпаии чуфти элементхои х’ ва х” иборат аст. Бигзор х‘ < х ” аст. Агар х < х ‘ ва х'< х “ бошад, он гох х < х” (яъне конуни транзитиви) хохад шуд. Мач­муе, ки аз руи ягон тартиби муайян муоина мегардад, мачмуи мураттаб- шуда номида мешавад. Вале мачмуи мураттабшуда мачмуи кисман му- раттабшудаест, ки бояд шартхои зеринро конеъ гардонанд. 1) хеч як элемент пеш аз худ омада наметавонад; 2) аз ду элементи гуногуни х, х’, яке аз дигаре пеш омада метавонад, яъне ё х < х’, ё х’ < х. Масалан, хар гуна мачмуи ададхои хакики хатти мураттабшуда мебошад; хамон ададеро пешоянди адади сони меноманд, ки он нисбат ба адади сони хурдтар бошад.

Таъсири Назарияи маърифат дар инкишофи математикаи муосир басо калон аст. Пеш аз хама Назарияи маърифат асоси як катор фанхои нави математики ба монан­ди назарияи функсияхои тагйирёбандахояш хакики топология и умуми, алгебраи умуми, тахлили функсионали ва гайра гардид. Методхои назариявию мачмуи дар сохахои классикии математика низ тадричан татбик ёфта истодааст. Масалан, як методро дар сохаи тахлили математики, дар назарияи сифатии муодилахои дифференсиали, хисоби вариатсиони, назарияи эхтимолият ва гайра истифода мебаранд. Нихоят Назарияи маърифат барои фахмиши худи предмети математика ё худ чунин фасли калони он — ге­ометрия таъсири калон расонд.