Назарияи ададхо

Назарияи ададхо, илмест дар бораи ададхои бутун.

Мафхуми адади бутун, инчунин амалхои арифметики бо ададхо аз даврахои кадим маълум буда, яке аз абстраксия (мафхум)-хои аввали­ни математика ба хисоб меравад.

Дар байни ададхои бутуп, яъне,… —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3,… ададхои натурали — ададхои бутуни мусбат 1, 2, 3, …, хосияти онхо ва амалхо бо онхо макоми хос дорад. Хамаи адад­хои натуралии аз як калон ба ду синф чудо мешаванд: ба синфи якум ададхои натуралии факат ду таксимкунаидаи натурали (1 ва худи хамон адад) дошта ва ба синфи дуюм хамаи ададхои натуралин бокимонда мансубанд. Ададхои синфи якум ададхои содда, ададхои синфи дуюм ададхои таркиби ном гирифтаанд. Хосияти ададхои содда ва алокаи онхоро бо дигар ададхои натурали Евклид (асри 3 то мелод) омухтааст. Агар хамаи ададхои натуралиро паи хам нависем, зичии нисбии ададхои содда дар ин катор торафт кам мешавад: шумораи онхо дар 10 адади аввали катор 4-то, яъне 40%; дар 100 адад 25-то, яъне 25%; барои 1000 адад 168-то, яъне 17%; барои миллион адид 78 498-то, яъне 8% ва гайра, аммо ба ин нигох накарда микдори онхо беинтихост. Дар байни ададхои содда чуфти ададхое воме- хуранд, ки фаркашон ба 2 к баробар аст (онхоро «чуфтхои содда» — «кэкизакхо» меноманд). Боинтихо ва беинтихо будани микдори ин гуна ададхо то хол исбот нашудааст. Чойгиршавии ададхои содда дар катори ададхои натурали яке аз масъалахои аввалини назарияи ададхои сод­да ба нисоб мерафт. Омузиши ин масъала боиси ба вучуд омадани ал­горитм (коида)-е гардид, ки барои тартиб додани чадвали ададхои сод­да имконият дод (ниг. Галбери Эра­тосфен). Евклид дар «Усул» ном асараш коидаи хисоб кардани ка- лонтарин таксимкунандаи ду адад (алгоритми Евклид) -ро нишон дод, ки аз он дар бораи ба зарбшаванданои содда яккимата чудо, намудани ададхои натурали теоремае бармеояд. Диофант дар «Арифметика» ном асараш назарияи муодилахоя коэффисиентнояш бутунро мунтазам баён намуд (ниг. Муодилахои Дио­фант) ки он ба инкишофи минбаъдаи Назария автоматхо такон дод.  П. Ферма (асри 17) дар назарияи муодилахои диофанти ва назарияи ба таксимшавандагии ададхо алокаманд кашфиётхои бузург ба амал овард (ниг. Теоремаи бузурги Ферма). Тадкикоти Фермаро доир ба таксимшавандагии ададхо давом дода, Л. Эйлер теоремаеро исбот кард, ки таъмими ба ном тео­ремаи хурди Ферма гардид. Ба ном теоремаи бузурги Фермаро низ ба­рои п = 3 Эйлер исбот намудааст.

Л. Эйлер усулхои тахлили математикиро барои халли масъалахои Назарияи автоматхо истифода бурд. Дар натича ме­тоди функсияхои хамзарби Эйлер, методи доиравии Харди-Литлвуд ва нихоят методи суммахои тригоно­метрии И. .М. Виноградов ба вучуд омад; бо ёрии ин метод у як катор масъалахои мухимми Назарияи автоматхоро хал кард. Д. Эйлер’теоремаеро дар бораи беинтихоии ададхои соддаи Евклид бо усули нав исбот намуд, ки он сонитар асоси назарияи дзета-функсияхо гардид. Гузориши нахустин масъалахои аддитиви (яъне масъалахои бо амали чамъ алокаманд) бо ададхои содда ба Л. Эйлер ва X. Голдбах мансуб аст. Дар солхои 50- уми асри 19 Назарияи автоматхо асосан бунёд гар­дид, ки бо номи К. Гаусс, Ж. Лаг­ранж, А. Лежандр, П. Дирихле, П. Л. Чебышев, Ж. Лиувилл ва дигарон алокаи мустахкам дорад. Масалан, Гаусс назарияи мукоисаро ба вучуд овард, ки ба воситаи он, масалан, теоремаи зирин исбот карда шуд: «адади содда дар намоя маврид суммаи ду квад­рат шуда метавонад, ки агар он намуди 4п+ 1 дошта бошад».

Чебишев бошад, бори аввал бузур­гии зиёдшавии функсияи π(N)-po нишон дод, кb он микдори ададхои соддаи аз N хурд ё ба он баробарро ифода мекунад.

Дар инкишофи минбаъдаи Назарияи автоматхо олимони совети 10. В. Линник, А. Я. Хинчин, Н. П. Романов, А. О. Гелфонд, А. И. Виноградов, А. А. Каратсуба, А. Г. Постников, Б. Н. Делоне, Д. К. Фадеев, А. В. Малишев, Н. Г. Чудаков, И. П. Кубилюс ва дигарон сахми калон гузоштаанд.

Ас,: Бабаев Г., Распределение тсе­лых точек на алгебраических поверхнос­тях, Д., 1066; Файзиев Р. Ф., Галбери Эратосфен, умумикуни ва татбики он (Ададхои содда). Д., 1067; Виног­радов И. М., Основы теории чисел, 9 изд., М., 1082; Особые варианты мето­да тригонометрических сумм. М., 1076; Б о р е в и ч  3. П., Ш а ф а р е в и ч И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1072; К а- р а тс у б а А. А., Основы аналитической теории чисел, М., 1075; Куликов Л. Я., Алгебра и теория чисел. М., 1070.