Наздикшавии мафҳуми математики

Наздикшавӣ, мафҳуми математикиест, ки ҳудуд доштани бузургии тағйирёбандаро ифода мекунад. Ба ҳамин маъно дар бораи Наздикшавии пайдарпаи, Наздикшавии касри бефосила, Наздикшавии зарби беохир, Наздикшавии интеграл ва ғайра сухан рондан мумкин аст.

Наздикшавии пайдарпаии {а_n} (п = 1, 2, …) ҳудуди охирнок доштани пайдарпай, яъне lim а_п = а; Наздикшавии қатори _к

ҳудуди охирнок доштани пайдарпаии суммаҳои хусусии қатор (ниг.

Қатор) яъне lim S_n=s (S_n = _к  , n =  1,  2, …); Наздикшавии зарби беохир b₁ ∙ b₂∙… b_n  ҳудуди охирноки ғайрисифрӣ доштани пайдарпаии зарбҳои охирнок Р_п = b₁ ∙ b₂ ∙… ∙ _п, п = 1, 2, …; Наздикшавии интеграли {x)dx аз функcияи f(х), ки дар oар гуна порчаи охирноки [а, b] интегронидашаванда мебошад, ҳудуди охирнок доштани интегралҳоро ҳангоми b→+ , яъне интеграли ғайрихоси +

{x)dx – ро ифода мекунад.

Хосияти Наздикшавии ин ё он объектҳои математики ҳам дар масъалаҳои назариявӣ ва ҳам дар масъалаҳои амалии математика роли муҳим мебозад. Масалан, аксар бузурги ё функсияҳоро бо воситаи қаторҳои наздикша­ванда ифода мекунанд, асоси логарифми натуралӣ е-ро ба қатори наздикшаванда ин тавр паҳн мекунанд:

e= 1+  +  +  + ….+ + …,

функсияи sin х бошад, барои ҳаман х бо қатори наздикшавандаи

sin x= x-  +  –  + … +) ∙  + …

 

ифода мешавад. Ҳамин тавр, қаторҳоро барои тақрибӣ ҳисоб кардани бузургӣ ва функсияҳои гуногун истифода бурдан мумкин будааст. Ба­рои ин суммаи якчанд узвҳои авва­ли қаторро гирифтан кифоя аст. Миқдори узвҳо ҳар қадар бисёр бошанд, бузургии матлуб низ ҳамон қадар саҳеҳтар мешавад. Барои ҳа- мон як бузургӣ ва ё функсия қаторҳои гуногуне мавҷуданд, ки суммаи онҳо ба ин бузургӣ ва ё функсия бapoбap аст, масалан,

ln  =  –  ∙   +  ∙  –  ∙  + . . . +    + . . . ,

 

ln  =  (1+  ∙  +  ∙  + . . . +  ∙  + . . . ).

 

Ҳангоми ҳисобу китоби амалӣ бо мақсади сарфа намудани миқдори амалҳо (дар баробари ин сарфа на­мудани вақт ва кам кардани хатоҳо) қатореро интихоб намудан лозим аст, ки он “нисбатан тезтар наздикшаванда” бошад.

 

Бигзор ду қатори наздикшавандаи

 

дода шуда бошанд, бо   ва   мувофиқан бақияҳои қатори якум ва дуюмро ишора мекунем. Агар

 

 

бошад, қатори якум нисбат ба қатори дуюм тезтар наздикшаванда номида мешавад.

Масалан, қатори

1+

нисбат ба қатори

 

тезтар наpдикшаванда мебошад.

Мафҳуми Наздикшавӣ дар ҳалли бисёр муодилаҳо (алгебравӣ, дифференсиалӣ, интегралӣ), аз ҷумла ҳангоми ҷустуҷӯи халҳои ададии тақрибии муодилаҳо аҳамияти калон дорад. Масалан, бо ёрии усули пай дар пай наздиккунӣ пайдарпаии функсияҳоеро. ки ба ҳалли мувофиқи муодилаи дифференсиалӣ наздикшавандаанд, ҳосил кардан мумкин аст.

Дар таҳлили математики намудҳои гуногуни Наздикшавӣ пайдарпаиҳои функ­сияҳои { (x)} ба функcияи f{x) дар ягон маҷмӯи М муоина карда ме­шавад. Агар барои ҳар як нуқтаи аз М  (х₀) = f (х₀) бошад, дар бораи Наздикшавӣ дар ҳар як нуқта сухан меронанд (агар ин баробарӣ танҳо барои нуқтаҳои мақмӯи чени синфиро ташкилкунанда ҷоиз набошад, дар бораи Наздикшавӣ қариб дар ҳама қо сухан меронанд). Наздикшавӣ якчанд ху- сусиятҳои нокулай ҳам дорад (масалан, пайдарпаии функсияҳои бефосила дар ҳар як нуқта ба функсияи канишдор наздик шуданаш мумкин аст, аз Наздикшавви функсияҳои (х) ба f(x) дар ҳар як нуқта дар ҳолати умумӣ Наздикшавии интегралҳо аз  (х) ба интеграл аз f(x)  барнамеояд ва ғайра). Вобаста ба ин мафҳуми Наздикшавии мунтазам ҷорӣ карда шудааст. Ба монан- ди ҳамин, дар назарияи муодилаҳои интегралӣ мафҳуми Наздикшавии миёнаи квадратӣ ҷорӣ гардидааст. Мафҳуми Наздикшавиро дар назарияи эҳтимолият, таҳлили функсионалӣ низ истифода мебаранд.

Ад.: И л  и и В. А., П о 8 я я к Э. Г., Основы математического анализа. 3 изд., т. 1—2, М., 1107.1—73; Кудрявтсев Л. Д.. Математический анализ, 2 изд., т. 1—2, М., 1970; Николский С. М., Курс математического анализа, т. 1—2, М., 1973.