Назарияи сатҳҳо

Назарияи сатҳҳо як фасли геометрияи дифференсиалӣ аст, ки хосияти сатҳҳоро меомӯзад. Яке аз вазифаҳои асосии Назарияи сатҳҳо чен намуда­ни бузургиҳои гуногун дар сатҳҳо мебошад. Маҷмӯи далелҳое, ки дар натиҷаи ин ченкунино ба даст меояд, геометрияи дохилии сатҳҳоро ташкил медиҳад. Мафҳумҳои дарозии хат, кунҷи байни ду самт, масоҳати соҳа, инчунин хатҳои геодезӣ, каҷии геодезии хат ва ғайра мафҳуҳнои геометрияи дохилианд. Геометрияи дохилиро шакли квадратии асосии якуми сатҳ

107

ds² = Edu² +  2Fdudv + Gdv² (1)

E = г   , F = r _u r _v, G= r , r= r{u, r)

— радиус-вектори нуқтаи тағйирёбандаи сатҳ, и, v координатаҳои кақхаттаи ин нуқта муайян мекунад, ки квадрати диффереисиалии камони хат дар сатҳ мебошад.

Сохти фазоии атрофи нуқта дар сатҳ тавассути шакли (формаи) квадратии асосии дуюм

2 h = Ldu³ + 2Mdudv + Ndv²;           (2)

ки дар он L=r_uun, М =г _uvn, N=

r_uun,

вектори воoидии нормал ба сатo мебошанд, тадқиқ, карда мешавад. Агар бузургиҳои беинтиҳо хурди тартибашон нисбат ба тартиби du, dv баландтар ба назар гирифта нашавад, бузургии h дар формулаи (2) масофа аз нуқтаи M^r(u+ du_б v+dv) то ҳамвории расанда у дар нуқтаи М(и, и) мебошад; ин масофа вобаста ба он ки нуқтаи М дар кадом тарафи ҳамвории у мехобад, бо аломати + ё — қабул карда мешавад. Агар шакли (2) аломати муайян дошта бошад, сатҳ дар атрофи кофӣ хурди нуқтаи М дар як тарафи ҳамвории ӯ мехобад ва нуқтаи М нуқтаи э л л и п с ӣ  номида мешавад. Агар шакли (2) аломатҳои тағйирёбанда дошта бошад, сатҳ дар атрофи нуқтаи М дар ҳар ду та­рафи ҳамвории ӯ ҷой мегирад ва нуқтаи М нуқтаи гиперболӣ номида мешавад. Агар аломати шакли (2) муайян бошад, вале баъзе аъзоҳо қиматҳои сифриро қабул кунанд (ҳангоми якбора ба сифр баробар набудани du ва dv) нуқтаи М нуқтаи параболӣ номида ме­шавад ( яке аз мисолҳои сохти сатҳ дар атрофи нуқтаи параболӣ нишон дода шудааст).

Барои саҳеҳтар тадқиқ намудани шакли фазоии сатҳ мафҳуми каҷии нормалистифода мешавад. Дар мавриди бо ҳамвории нормал буридани сатҳ буриши нормал ҳосил мешавад. Каҷии буриши нормал каҷии нормали сатҳ ном дорад. Агар самти ҳамвории буранда ба самти мувофиқ  оякаҷии нормал (к) аз рӯи формулаи

ҳисоб карда мешавад. Қиматҳои экстремалии каҷии нормал к₁, к₂ к а ҷ и ҳ о и асосӣ, самтҳои мувофиқ дар сатҳ самтҳои асосӣ ном доранд. Ҳосили зарби каҷиҳои асосӣ К = к • к₂-ро каҷии п у р р а  ё каҷии Гаусс мвноманд ва онро аз рӯи формулаи Гаусс

(3)

ҳисоб мекунанд. Каҷии пурра дараҷаи каҷшавии сатҳҳоро дар атрофи нуқтаи додашуда нишон медиҳад. Масалан, агар К > 0 бошад — нуқтаи эллиссӣ К < 0 бошад — нуқтаи гиперболӣ ва К = 0 бошад — нуқтаи па­раболи ҳосил мешавад.

Агар байни нуқтаҳои ду сатҳ чунин мувофиқити яккиммата мавҷуд бошад, ки дарозии хатҳои мувофиқ дар ин сатҳҳо баробар бошанд, ин сатҳҳоро сатҳҳои изометрӣ меноманд. Геометрияи дохилии сатҳҳои изометрӣ як хел бошад ҳам, ва­ле сохти фазоии онҳо аз ҳам фарқ мекунанд.

Яке аз мафҳумҳои муҳими Назарияи сатҳҳо каҷии миёна ба ҳисоб меравад, ки ба нисфи ҳосили ҷамъи каҷиҳои асо­сӣ  баробар мебошад. Агар каҷии миёнаи сатҳ дар ҳар нуқтааш ба сифр баробар бошад, сатҳро ми- нималӣ меноманд, ки он дар физи­ка ва дигар соҳаҳои илм аҳамияти калон дорад.

Дигар масъалаи муҳами Назарияи сатҳҳо проб­лемаи қатшавии сатҳҳо мебошад. Дар ин бобат тадқиқоти олими советӣ Н. В. Ефимов ҷолиби диққат аст.

Ад.: П о г о р е л о в А. В., Дифферен­тсиалная геометрия, в изд.. М., 1974.