Назарияи ададҳо

Назарияи ададҳо, илмест дар бораи ададҳои бутун. Мафҳуми адади бутун, инчунин амалҳои арифметики бо ададҳо аз давраҳои қадим маълум буда, яке аз абстраксия (мафҳум)-ҳои аввали­ни математика ба ҳисоб меравад. Дар байни ададҳои бутуп, яъне,… —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3,… ададҳои натуралӣ — ададҳои бутуни мусбат 1, 2, 3, …, хосияти онҳо ва амалҳо бо онҳо мақоми хос дорад. Ҳамаи адад­ҳои натуралии аз як калон ба ду синф ҷудо мешаванд: ба синфи якум ададҳои натуралии фақат ду тақсимкунаидаи натурали (1 ва худи ҳамон адад) дошта ва ба синфи дуюм ҳамаи ададҳои натуралин боқимонда мансубанд. Ададҳои синфи якум ададҳои содда, ададҳои синфи дуюм ададҳои таркибӣ ном гирифтаанд. Хосияти ададҳои содда ва алоқаи онҳоро бо дигар ададҳои натуралӣ Евклид (асри 3 то мелод) омӯхтааст. Агар ҳамаи ададҳои натуралиро паи ҳам нависем, зичии нисбии ададҳои содда дар ин қатор торафт кам мешавад: шумораи онҳо дар 10 адади аввали қатор 4-то, яъне 40%; дар 100 адад 25-то, яъне 25%; барои 1000 адад 168-то, яъне 17%; барои миллион адид 78 498-то, яъне 8% ва ғайра, аммо ба ин нигоҳ накарда миқдори онҳо беинтиҳост. Дар байни ададҳои содда ҷуфти ададҳое воме- хӯранд, ки фарқашон ба 2 к баробар аст (онҳоро «ҷуфтҳои содда» — «кэкизакҳо» меноманд). Боинтиҳо ва беинтиҳо будани миқдори ин гуна ададҳо то ҳол исбот нашудааст. Ҷойгиршавии ададҳои содда дар қатори ададҳои натуралӣ яке аз масъалаҳои аввалини назарияи ададҳои сод­да ба нисоб мерафт. Омӯзиши ин масъала боиси ба вуҷуд омадани ал­горитм (қоида)-е гардид, ки барои тартиб додани ҷадвали ададҳои сод­да имконият дод (ниг. Ғалбери Эра­тосфен). Евклид дар «Усул» ном асараш қоидаи ҳисоб кардани ка- лонтарин тақсимкунандаи ду адад (алгоритми Евклид) -ро нишон дод, ки аз он дар бораи ба зарбшаванданои содда якқимата ҷудо, намудани ададҳои натуралӣ теоремае бармеояд. Диофант дар «Арифметика» ном асараш назарияи муодилаҳоя коэффисиентнояш бутунро мунтазам баён намуд (ниг. Муодилаҳои Дио­фант) ки он ба инкишофи минбаъдаи Назария автоматҳо такон дод.  П. Ферма (асри 17) дар назарияи муодилаҳои диофантӣ ва назарияи ба тақсимшавандагии ададҳо алоқаманд кашфиётҳои бузург ба амал овард (ниг. Теоремаи бузурги Ферма). Тадқиқоти Фермаро доир ба тақсимшавандагии ададҳо давом дода, Л. Эйлер теоремаеро исбот кард, ки таъмими ба ном тео­ремаи хурди Ферма гардид. Ба ном теоремаи бузурги Фермаро низ ба­рои п = 3 Эйлер исбот намудааст. Л. Эйлер усулҳои таҳлили математикиро барои ҳалли масъалаҳои Назарияи автоматҳо истифода бурд. Дар натиҷа ме­тоди функсияҳои ҳамзарби Эйлер, методи доиравии Харди-Литлвуд ва ниҳоят методи суммаҳои тригоно­метрии И. .М. Виноградов ба вуҷуд омад; бо ёрии ин метод ӯ як қатор масъалаҳои муҳимми Назарияи автоматҳоро ҳал кард. Д. Эйлер’теоремаеро дар бораи беинтиҳоии ададҳои соддаи Евклид бо усули нав исбот намуд, ки он сонитар асоси назарияи дзета-функсияҳо гардид. Гузориши нахустин масъалаҳои аддитивӣ (яъне масъалаҳои бо амали ҷамъ алоқаманд) бо ададҳои содда ба Л. Эйлер ва X. Голдбах мансуб аст. Дар солҳои 50- уми асри 19 Назарияи автоматҳо асосан бунёд гар­дид, ки бо номи К. Гаусс, Ж. Лаг­ранж, А. Лежандр, П. Дирихле, П. Л. Чебышев, Ж. Лиувилл ва дигарон алоқаи мустаҳкам дорад. Масалан, Гаусс назарияи муқоисаро ба вуҷуд овард, ки ба воситаи он, масалан, теоремаи зирин исбот карда шуд: «адади содда дар намоя маврид суммаи ду квад­рат шуда метавонад, ки агар он намуди 4п+ 1 дошта бошад». Чебишев бошад, бори аввал бузур­гии зиёдшавии функсияи π(N)-po нишон дод, кb он миқдори ададҳои соддаи аз N хурд ё ба он баробарро ифода мекунад. Дар инкишофи минбаъдаи Назарияи автоматҳо олимони советӣ 10. В. Линник, А. Я. Хинчин, Н. П. Романов, А. О. Гелфонд, А. И. Виноградов, А. А. Каратсуба, А. Г. Постников, Б. Н. Делоне, Д. К. Фадеев, А. В. Малишев, Н. Г. Чудаков, И. П. Кубилюс ва дигарон саҳми калон гузоштаанд. Ас,: Бабаев Г., Распределение тсе­лых точек на алгебраических поверхнос­тях, Д., 1066; Файзиев Р. Ф., Галбери Эратосфен, умумикунӣ ва татбиқи он (Ададҳои содда). Д., 1067; Виног­радов И. М., Основы теории чисел, 9 изд., М., 1082; Особые варианты мето­да тригонометрических сумм. М., 1076; Б о р е в и ч  3. П., Ш а ф а р е в и ч И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1072; К а- р а тс у б а А. А., Основы аналитической теории чисел, М., 1075; Куликов Л. Я., Алгебра и теория чисел. М., 1070.