Назарияи маҷмӯъҳо

Назарияи маҷмӯъҳо таълимотест дар бораи хосиятҳои умумии маҷмӯъҳо, алалхусус маҷмӯъҳои беинтиҳо. Мафҳуми маҷмӯъ аз ҷумлаи соддатарин мафҳумҳои  математикист, он таъриф дода намешавад, аммо бо мисолҳо шарҳ додан мумкин аст. Чунончи, дар бораи маҷмӯи китобҳои ягон. китобхона, маҷмӯи нуқтаҳои хати рост, маҷмӯи ҳалҳои ягон муодила сухан ронда метавонем. Китобҳои китобхонаи мазкур, нуқтаҳои хати рост, ҳалҳои муодилаи интихобшуда мувофиқан эле­ментҳои маҷмӯъ мебошанд. Бо мақсади муайян кардани маҷмӯъ хосияти характеристикии элементҳо, яъне он хосиятеро нишон додан кофист, ки ҳамаи элементҳои ин маҷмӯъ соҳибанд. Чунин ҳам мешавад, ки ҳеҷ як элемент ин хосиятро доро нест, он гоҳ ин гуна маҷмӯъро маҷмӯи холӣ меноманд. Элемент маҷмӯи М будани х ин тавр навишта мешавад: хϵ М (хонданаш х мутааллиқи маҷмӯи М).

Агар ҳар як элементи маҷмӯи А дар айни ҳол элементи маҷмӯи Вбошад, он вақт А-ро зермаҷмӯъ ва ё қисми маҷмӯи В меноманд ва чунин менависанд: А⊇Вё В⊆А. Маҷмӯи холиро назар ба таъриф, зермаҷмӯи ҳама гуна маҷмӯъ меҳисобанд.

Аввалин масъалае, ки дар соҳаи маҷмӯъҳои беинтиҳо ба миён омад, ин масъалаи байни якдигар муқоиса кардани миқдори элементҳои маҷ­мӯъҳо буд. Ин масъала ва масъалаҳои ба он наздикро солҳои 70 асри 19 Г. Кантор ҳал намуд ва Назарияи маърифатро чун илми математики асоснок кард. Му- қоисаи миқдори элементҳои маҷмӯъҳо ба мафҳуми байни якдигар якқимата мувофиқ гузоштани эле­ментҳои ду маҷмӯъ истинод мекунад. Бигзор ба ҳар як элементи маҷ­мӯи А, аз рӯи ягон қонуну қоида, элементи маълуми маҷмӯи В мувофиқ гузошта шуда бошад. Агар дар ин маврид ба ҳар як элементи мачҷмӯи А як ва фақат як элементи маҷмӯи В мувофиқ гузошта шавад, он гохҳ мегӯянд, ки байни маҷмӯъҳои А ва В мувофиқати байнан якқимата муқаррар карда шудааст [ишораи мухтасараш (1—1)]. Зоҳиран, байни ду маҷмӯи охирнок танҳо ҳамон вақт мувофиқатии (1— 1)-ро муқаррар намудан мумкин аст, ки агар ҳар ду маҷмӯъ аз ҳамон як миқдори элементҳо ташкил ёфта бошанд. Барои таъмими ин омил иқ тидори маҷмӯъро муайян мекунанд. Моҳияти мафҳуми иқтидори маҷмӯъ бо мавҷудияти маҷмӯъҳои беинтиҳои иқтидорашон гуногун муайян мегардад. Масалан, иқтидори ҳама и зер- маҷмӯъҳои маҷмӯи М аз иқтидори худи маҷмӯи М калон аст. Маҷмӯе, ки иқтидораш ба иқтидори маҷмӯи ҳамаи ададҳои натуралӣ баробар аст, маҷмӯи ҳ и с о б ӣ ном дорад. Иқтидори маҷмӯи ҳисобӣ хурдтарин иқтидорест, ки онро маҷмӯи беинтиҳо дорад. Г. Кантор исбот намуд, ки маҷмӯи ҳамаи ададҳои ратсионалӣ ва ҳатто маҷмӯи ҳамаи ададҳои алгебравӣ ҳисобианд, вале маҷмӯи ҳамаи ададҳои ҳақиқӣ ғайриҳисобӣ. Иқтидори маҷмӯи ҳамаи ададҳои ҳақиқиро иқтидори континуум меноманд (ниг. Континуум). Маҷмӯи ҳа­маи зермаҷмӯъҳои маҷмӯи ҳисобӣ, маҷмӯи ҳамаи ададҳои комплексӣ, маҷмӯи ҳамаи нуқтаҳо дар ҳамворӣ, инчунин маҷмӯи ҳамаи нуқтаҳои фазоӣ сечена на ё умуман фазои n-чена (п — адади ихтиёрӣ) ба маҷмӯи ҳамаи ададҳои ҳақиқи баробариқтидор мебошанд. Кантор фар- зияеро (ба ном континуумфарзия) пеш гузошт, ки бино ба он ҳар гуна маҷмӯи иборат аз ададҳои ҳақиқӣ ё боинтиҳо, ё ҳисобӣ ва ё бо маҷмӯи ҳамаи ададҳои ҳақиқи баробариқтидор хоҳад буд (ниг. Проблемаи континуум).

Дар Назарияи маърифат мафҳумҳои таъмими функсия, мафҳуми геометрии инъикос ё табдилоти шакл ва монанди инҳо таҳти як мафҳуми умумии инъикоси як маҷмӯъ ба дигараш муҷтамеъ меёбад. Бигзор маҷмӯҳои X ва Y додашуда бошад. Фараз кунем, ки ба ҳар кадом элементн муайяни х ϵ X ягон элементи муайяни у = f (x) аз Y мувофиқат карда бо­шад; дар чунин ҳол мегӯянд, инъи­коси маҷмӯи X дар маҷмӯи Y вуҷуд дорад. Ба ибораи дигар, байни маҷ­мӯи X ва Y функсияе вуҷуд дорад ки аргументи он х аз X қимат ме- гираду қимати функсия аз маҷӯи Y. Элементн у = f (х), ки барои щар х-и маълум аз X дар Y мавҷуд аст, о б р а з и элементи х ϵ X дар Y (ҳангоми ин инъикос) ва ё қимати функсияи мазкур ном дорад. Масалан, х маҷмӯи ҳамаи ададҳои ҳақиқӣ бо­шад; агар ба ҳар як х ϵ X функсия у = f(x) = arc tg х бошад, пас му­қаррар хоҳад шуд, ки маҷмӯи X дар

интервали (-  , ) инъикос гардидааст.

Амалҳо бо маҷмӯъҳо низ ба монанди амалҳо бо ададҳо (ғайр аз амали тақсим) вуҷуд доранд, чунончи суммай ду, се ва ғайра маҷмӯъҳои дилхоҳи охирнок ва беохир гуфта маҷмӯеро меноманд, ки элементҳои он лоақал якто элементи маҷмӯъҳои ҷамъшавандаро дар худ дошта бошад. Б у р и ш и маҷмӯъҳо гуфта маҷмӯеро гӯянд, ки элементҳои он барои ҳамаи маҷмӯъҳои интихобшуда умуми мебошад. Буриши ду маҷмӯи ғайриҳолӣ маҷмӯи ҳоли шуда метаволад. Ф а р қ и маҷмӯи А ва маҷмӯи В маҷмуест, ки элементҳояш аз элемелтҳои маҷмӯи В иборат буда, мутааллиқи маҷмӯи А нестанд. Амалҳои ҷамъ ва буриши маҷмӯъҳо қонунҳои ассосиативӣ ва коммутативиро қонеъ мегардонанд. Агар ξ ва η мувофиқан иқтидори маҷмӯъҳои X ва У бошад, он гоҳ ξη  ва ηξ  мувофиқан чун иқтидори зарби берунаи ин маҷмӯъҳо X∙ У (маҷмӯъҳои ҷуфти имконпазир (х, у), х ϵ X, у ϵ Y] ва YX дараҷаи онҳо (маҷмӯи ҳамин инъикосҳои имколпазири маҷмӯи X ба маҷмӯи Y) бояд муоина кард. Ба монанди ҳамин суммаи иқтидорҳоро чун иқтидори суммаи маҷмӯъҳои ҷуфт- ҷуфт ҳамдигарро набуранда муайян кардан мумкин аст.

Дар маҷмӯи X муайян намуданл мафҳуми тартиби элементҳо аз му­айян кардани пайдарпаии ҷуфти элементҳои х’ ва х” иборат аст. Бигзор х‘ < х ” аст. Агар х < х ‘ ва х'< х “ бошад, он гоҳ х < х” (яъне қонуни транзитивӣ) хоҳад шуд. Маҷ­мӯе, ки аз рӯи ягон тартиби муайян муоина мегардад, маҷмӯи мураттаб- шуда номида мешавад. Вале маҷмӯи мураттабшуда маҷмӯи қисман му- раттабшудаест, ки бояд шартҳои зеринро қонеъ гардонанд. 1) ҳеҷ як элемент пеш аз худ омада наметавонад; 2) аз ду элементи гуногуни х, х’, яке аз дигаре пеш омада метавонад, яъне ё х < х’, ё х’ < х. Масалан, ҳар гуна маҷмӯи ададҳои ҳақиқӣ хаттӣ мураттабшуда мебошад; ҳамон ададеро пешоянди ададӣ сонӣ меноманд, ки он нисбат ба адади сонӣ хурдтар бошад.

Таъсири Назарияи маърифат дар инкишофи математикаи муосир басо калон аст. Пеш аз ҳама Назарияи маърифат асоси як қатор фанҳои нави математики ба монан­ди назарияи функсияҳои тағйирёбандаҳояш ҳақиқӣ топология и умумӣ, алгебраи умумӣ, таҳлили функсионалӣ ва ғайра гардид. Методҳои назариявию маҷмӯи дар соҳаҳои классикии математика низ тадриҷан татбиқ ёфта истодааст. Масалан, як методро дар соҳаи таҳлили математики, дар назарияи сифатии муодилаҳои дифференсиалӣ, ҳисоби вариатсионӣ, назарияи эҳтимолият ва ғайра истифода мебаранд. Ниҳоят Назарияи маърифат барои фаҳмиши худи предмети математика ё худ чунин фасли калони он — ге­ометрия таъсири калон расонд.